Teorema del factor, División sintética y Regla de signos de Descartes

Teorema del factor

Este teorema dice que:

Un número real "a" es raíz de un polinomio p(x) si y sólo si p(x) es divisible por (x – a)

     Luego de haber leído la publicación anterior se puede observar que el teorema del factor es una consecuencia directa del teorema del resto. Ya  que para que un polinomio p(x) sea divisible por otro de la forma (x - a) el resto de la división de p(x) entre (x - a) debe ser igual a cero. Lo cual se puede conocer facilmente aplicando el teorema del resto a dicho polinomio  y verificando si el resto es o no igual a cero.

     Retomando el ejemplo de la publicación anterior se tiene que al dividir:

 entre 

     

     El resto, obtenido mediante el teorema del resto, es igual a:

     

     Por lo que, de acuerdo a lo enunciado en el teorema del factor, -1 es raiz de p(y) ya que el resto de la división anterior es cero. Confirmándose además que y + 1 es divisor de p(y). De modo que del teorema del factor pueden sacarse las siguientes aseveraciones: 

Un número real "a" es raíz de un polinomio p(x) si y sólo si p(a) = 0

Y también puede decirse que: 

un polinomio de la forma (x – a) es un factor de un polinomio p(x)

si y sólo si p(a) = 0

Fuentes:

• Métodos Numéricos Con Matlab. Alicia Cordero Barbero. Ed. Univ. Politéc. Valencia, 2005. Pag. 48 de 493.
• Matemática Para el Ingreso. Universidad Nac. del Litoral. Pag 127.
• Teorema del resto en Wikipedia.

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División sintética

    Un método rápido alternativo a la división larga es la división sintética, la cual sirve únicamente para dividir un polinomio de grado 1 o mayor entre otro polinomio que este en la forma (x – c), donde c es una constante.

     En la división sintética se escriben sólo las partes esenciales de la división larga. A continuación se muestra una comparación entre la división larga y la división sintética en la que se divideentre

     Se puede observar que en la división sintética se escriben sólo los coeficientes del dividendo (los 4 numeros que se encuentran a la derecha del 3) poniendo un cero en aquellos lugares donde falte una potencia de x. Y en lugar de x - 3 se escribe simplemente 3, sin signo negativo, ya que el ponerlo como positivo permite sumar en lugar de restar, y ésto hace que se cambie el signo de los coeficientes del renglón de en medio de la división sintética (6, -3 y -9) con respecto a su contraparte en la división larga. A continuación se muestra el proceso mediante el cual se efectuó la división sintética.

     Se comienza por escribir los coeficientes apropiados para representar el divisor y el dividendo.

     Se baja el 2, se multiplica (3)(2) = 6, y se escribe el resultado en el renglón de en medio. Luego se suma: 

     Se repite el proceso de multiplicar y luego sumar hasta completar la tabla.

     De la última línea de la división sintética, se puede observar que el cociente es  y el residuo es - 4. Por consiguiente:

Fuente:

• Matemáticas para el Cálculo. 5ta Edición. James Stewart, Lothar Redlin. Cengage Learning Editores, 2007. Pag. 267 de 1056.

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Regla de signos de Descartes

     Esta regla permite determinar el número máximo posible de raíces reales positivas y negativas de una ecuación polinómica determinada. esta regla dice que:

Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales tal que p(0) sea diferente de 0. Entonces:

• El número de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de variaciones de signos en la sucesión numérica formada por sus coeficientes, o menor que esa cantidad en un múltiplo de 2.

• El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de  variaciones de signos en la sucesión numérica formada por sus coeficientes pero en p(-x), o menor que esa cantidad en un múltiplo de 2.

     Hay que recordar que este teorema habla de las raíces reales de p(x), y que para aplicar correctamente el teorema, p(x) debe estar escrito en forma estandar o canónica, es decir, de la potencia mayor a la menor.

     Al entender esta regla se debe tener en cuenta el siguiente término. Por "variaciones de signos" de los coeficientes reales de un polinomio, se da a entender que dos coeficientes consecutivos tienen signos opuestos. Así por ejemplo, si se tiene el polinomio, y teniendo en cuenta que los términos con coeficiente cero son positivos, la secuencia de los signos es:

     Por lo que hay 2 variaciones de signo, tal como lo indican las flechas, por lo tanto hay "a lo mucho" 2 raíces positivas (lo que no quiere decir que tenga que haberlas efectivamente). Para conocer las raíces negativas se utiliza p(-x) de modo que primero se sustituyen todas las x por - x en el polinomio:

     Y por consecuente, la secuencia de los signos ahora es:

     Donde según las flechas hay 3 variaciones de signo, por lo que hay "a lo mucho" 3 raíces negativas (lo que igualmente no quiere decir que las haya efectivamente).

     Como ha podido apreciarse, esta regla sólo ofrece conjeturas, sin una seguridad definitiva, sobre la naturaleza de las raíces de un polinomio p(x). De cualquier forma es interesante conocer estas posibilidades sobre las raíces a manera de guía en el trabajo.

Fuentes:

• Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Arthur Goodman, Lewis Hirsch. Pearson Educación, 1996. Pag. 284 de 642.
• Algebra superior, Volumen 1. Kreemly Pérez Lluberes, María Altagracia López Ferreira. INTEC, 1984. Pag. 290 de 406.